异常观测值
一个全面的回归分析要覆盖对异常值的分析,包括离群点、高杠杆值点和强影响点。这些数据点需要更深入的研究,因为它们在一定程度上与其他观测点不同,可能对结果产生较大的负面影响。下面我们依次学习这些异常值。
8.4.1 离群点
离群点是指那些模型预测效果不佳的观测点。它们通常有很大的、或正或负的残差(Yi-Y ˆi )。正的残差说明模型低估了响应值,负的残差则说明高估了响应值。你已经学习过一种鉴别离群点的方法:图8-9的Q-Q图,落在置信区间带外的点即可被认为是离群点。另外一个粗糙的判断准则:标准化残差值大于2或者小于-2的点可能是离群点,需要特别关注。
car包也提供了一种离群点的统计检验方法。 outlierTest()函数可以求得最大标准化残差绝对值Bonferroni调整后的p值:
此处,你可以看到Nevada被判定为离群点(p=0.048)。注意,该函数只是根据单个最大(或正或负)残差值的显著性来判断是否有离群点。若不显著,则说明数据集中没有离群点;若显著,则你必须删除该离群点,然后再检验是否还有其他离群点存在。
8.4.2 高杠杆值点
高杠杆值观测点,即是与其他预测变量有关的离群点。换句话说,它们是由许多异常的预测变量值组合起来的,与响应变量值没有关系。高杠杆值的观测点可通过帽子统计量(hat statistic)判断。对于一个给定的数据集,帽子均值为p/n,其中p 是模型估计的参数数目(包含截距项), n 是样本量。一般来说,若观测点的帽子值大于帽子均值的2或3倍,即可以认定为高杠杆值点。下面代码画出了帽子值的分布:
结果见图8-13。
水平线标注的即帽子均值2倍和3倍的位置。 定位函数(locator function)能以交互模式绘图:单击感兴趣的点,然后进行标注,停止交互时,用户可按Esc键退出,或从图形下拉菜单中选择Stop,或直接右击图形。此图中,可以看到Alaska和California非常异常,查看它们的预测变量值,与其他48个州进行比较发现: Alaska收入比其他州高得多,而人口和温度却很低; California人口比其他州府多得多,但收入和温度也很高。高杠杆值点可能会是强影响点,也可能不是,这要看它们是否是离群点。
8.4.3 强影响点
强影响点,即对模型参数估计值影响有些比例失衡的点。例如,若移除模型的一个观测点时模型会发生巨大的改变,那么你就需要检测一下数据中是否存在强影响点了。有两种方法可以检测强影响点: Cook距离,或称D统计量,以及变量添加图(added variable plot) 。一般来说, Cook’s D值大于4/(n-k-1),则表明它是强影响点,其中n 为样本量大小, k 是预测变量数目。可通过如下代码绘制Cook’s D图形(图8-14):
通过图形可以判断Alaska、 Hawaii和Nevada是强影响点。若删除这些点,将会导致回归模型截距项和斜率发生显著变化。注意,虽然该图对搜寻强影响点很有用,但我逐渐发现以1为分割点比4/(nk 1)更具一般性。若设定D=1为判别标准,则数据集中没有点看起来像是强影响点。Cook’s D图有助于鉴别强影响点,但是并不提供关于这些点如何影响模型的信息。变量添加图弥补了这个缺陷。对于一个响应变量和k 个预测变量,你可以如下图创建k 个变量添加图。所谓变量添加图,即对于每个预测变量Xk,绘制Xk 在其他k 1个预测变量上回归的残差值相对于响应变量在其他k-1个预测变量上回归的残差值的关系图。 car包中的avPlots()函数可提供变量添加图:
结果如图8-15所示。
图形一次生成一个,用户可以通过单击点来判断强影响点。按下Esc,或从图形菜单中选择Stop,或右击,便可移动到下一个图形。我已在左下图中鉴别出Alaska为强影响点。
图中的直线表示相应预测变量的实际回归系数。你可以想象删除某些强影响点后直线的改变,以此来估计它的影响效果。例如,来看左下角的图(“ Murder|others” VS“ Income|others”),若删除点Alaska,直线将往负向移动。事实上,删除Alaska, Income的回归系数将会从0.000
06变为-0.000
85。当然,利用car包中的influencePlot()函数,你还可以将离群点、杠杆值和强影响点的信息整合到一幅图形中:
图8-16反映出Nevada和Rhode Island是离群点, New York、 California、 Hawaii和Washington有高杠杆值, Nevada、 Alaska和Hawaii为强影响点。
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