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如何实现降维处理(R语言)

来源:CDA数据分析师 | 发布时间:2017-12-07 07:18:12

如何实现降维处理(R语言)

现实世界中数据一般都是复杂和高维的,比如描述一个人,有姓名、年龄、性别、受教育程度、收入、地址、电话等等几十种属性,如此多的属性对于数据分析是一个严重的挑战,除了极大增加建模的成本和模型的复杂度,往往也会导致过拟合问题,因此在实际处理过程中,一些降维的方法是必不可少,其中用的比较多的有主成分分析(PCA)、奇异值分解(SVD)、特征选择(Feature Select),本文将对PCA和SVD作简单的介绍,并力图通过案例加深对这两种降维方法的理解。
1 主成分分析PCA
1.1 R语言案例
在R语言中PCA对应函数是princomp,来自stats包。以美国的各州犯罪数据为对象进行分析,数据集USArrests在graphics包中。

    > library(stats) ##princomp
    > head(USArrests)
               Murder Assault UrbanPop Rape
    Alabama      13.2     236       58 21.2
    Alaska       10.0     263       48 44.5
    Arizona       8.1     294       80 31.0
    > summary(pc.cr <- princomp(USArrests, cor = TRUE))
    ##每个主成分对方差的贡献比例,显然Comp.1 +  Comp2所占比例超过85%,因此能够用前两个主成分来表示整个数据集,也将数据从4维降到两维
    Importance of components:
                              Comp.1    Comp.2    Comp.3     Comp.4
    Standard deviation     1.5748783 0.9948694 0.5971291 0.41644938
    Proportion of Variance 0.6200604 0.2474413 0.0891408 0.04335752
    Cumulative Proportion  0.6200604 0.8675017 0.9566425 1.00000000
    接下来查看每个特征在主成分中所在的比例
    > loadings(pc.cr)
    Loadings:
             Comp.1 Comp.2 Comp.3 Comp.4
    Murder   -0.536  0.418 -0.341  0.649
    Assault  -0.583  0.188 -0.268 -0.743
    UrbanPop -0.278 -0.873 -0.378  0.134
    Rape     -0.543 -0.167  0.818      
                   Comp.1 Comp.2 Comp.3 Comp.4
    SS loadings      1.00   1.00   1.00   1.00
    Proportion Var   0.25   0.25   0.25   0.25
    Cumulative Var   0.25   0.50   0.75   1.00
    根据以上数据可很容易转换为几个数学等式:
    Comp1 = -0.536 * Murder + (-0.583) * Assault + (-0.278)*UrbanPop + (-0.543)* Rape
    Comp2 = 0.418 * Murder + 0.188 * Assault + (-0.873)*UrbanPop + (-0.167)* Rape
    可以用Comp1、Comp2两个维度的数据来表示各州,在二维图上展现各州个聚类关系。
    > head(pc.cr$scores) ##scores包含有各州在四个主成分的得分
                        Comp.1      Comp.2      Comp.3       Comp.4
    Alabama        -0.98556588  1.13339238 -0.44426879  0.156267145
    Alaska         -1.95013775  1.07321326  2.04000333 -0.438583440
    Arizona        -1.76316354 -0.74595678  0.05478082 -0.834652924
    Arkansas        0.14142029  1.11979678  0.11457369 -0.182810896
    California     -2.52398013 -1.54293399  0.59855680 -0.341996478
    ##将前两个Comp提取出来,转换为data.frame方便会面绘图
    > stats.arrests <- data.frame(pc.cr$scores[, -c(3:4)])
    > head(stats.arrests)
                   Comp.1     Comp.2
    Alabama    -0.9855659  1.1333924
    Alaska     -1.9501378  1.0732133
    Arizona    -1.7631635 -0.7459568
    > library(ggplot2)
    ##展现各州的分布情况,观察哪些州比较异常,哪些能够进行聚类
    > ggplot(stats.arrests, aes(x = Comp.1, y = Comp.2)) +
    + xlab("First Component") + ylab("Second Component") +
    + geom_text(alpha = 0.75, label = rownames(stats.arrests), size = 4)

有兴趣的同学还可以,分析南北各州在犯罪数据上的迥异。
1.2 PCA理论基础
经过上一小节对PCA的简单应用,应该可以体会到PCA在降维处理上的魅力,下面简单介绍PCA的理论基础,对于更好的理解和应用PCA会非常有帮助。
PCA本质就是将数据投影在众多正交向量上,根据投影后数据的方差大小,说明向量解释数据的程度,方差越大,解释的程度越大。以下图为例,数据投影在向量u的方差明显最大,因此u向量作为第一主成分,与u向量正交的v向量,作为第二主成分。
 
Nd = dim(data) 代表数据的维数, Sc = num(Comp)代表主成分的个数(Nd = Sc ),在实际情况中,往往取前k << Nd个主成分便能解释数据的方差程度超过90%,因此能够在只丢失少量消息的情况,达到大规模减少数据维度的效果,无论对于建立模型、提升性能、减少成本都有很大的意义。
从某种意义上讲,PCA只是将很多相互间存在线性关系的特征,转换成新的、相互独立的特征,从而减少特征数量。对此,它需要借助特征值来找到方差最大的主成分,每一个特征值对应一个特征向量,特征值越大,特征向量解释数据矩阵的方差的程度越高。因此,只需要将特征值从大到小排列,取出前k个特征向量,便能确定k个最重要的主成分。
PCA算法通常包括如下5个步骤:
A 平均值归一化,减去每个特征的平均值,保证归一化后的数据平均值为0
B 计算协方差矩阵,每两个特征之间的协方差
C 计算协方差矩阵的特征向量和特征值
D 将特征向量根据对应的特征值大小降序排列,特征向量按列组成FeatureVector = (eig_1, eig_2, …,eig_n)
E RowFeatureVector = t(FeatureVector) (转置),eig_1变为第一行,RowDataAdjusted = t(DataAdjusted), 特征行变为列,得到最终的数据。
    FinalData = RowFeatureVector X RowDataAdjusted
从维度变化的角度出发
协方差矩阵:n x n  , FeatureVector: n x n,RowFeatureVector:n x n,  n为特征数量
DataAdjusted:m x n, RowDataAdjusted: n x m
取前k个特征向量, RowFeatureVector:k x n
那么FinalData: k x m, 这样便实现维度的降低。
2  奇异值分解(SVD)
2.1 案例研究
我们通过一张图片的处理来展示奇异值分解的魅力所在,对于图片的处理会用到R语言中raster和jpeg两个包。
    ##载入图片,并且显示出来
    > library(raster)
    Loading required package: sp
    > library(jpeg)
    > raster.photo <- raster("Rlogo.jpg")
    > photo.flip <- flip(raster.photo, direction = "y")
    ##将数据转换为矩阵形式
    > photo.raster <- t(as.matrix(photo.flip))
    > dim(photo.raster)
    [1] 288 196
    > image(photo.raster, col = grey(seq(0, 1, length = 256)))  ##灰化处理

    ##奇异值进行分解
    > photo.svd <- svd(photo.raster)
    > d <- diag(photo.svd$d)
    > v <- as.matrix(photo.svd$v)
    > u <- photo.svd$u
    取第一个奇异值进行估计,如下左图
    > u1 <- as.matrix(u[, 1])
    > d1 <- as.matrix(d[1, 1])
    > v <- as.matrix(v[, 1])
    > photo1 <- u1 %*% d1 %*% t(v)
    > image(photo1, col = grey(seq(0, 1, length = 256)))

取前五十个奇异值进行模拟,基本能还原成最初的模样,如上右图

    > u2 <- as.matrix(u[, 1:50])
    > d2 <- as.matrix(d[1:50, 1:50])
    > v2 <- as.matrix(v[, 1:50])
    > photo2 <- u2 %*% d2 %*% t(v2)
    > image(photo2, col = grey(seq(0, 1, length = 256)))
当我们尝试用更多的奇异值模拟时,会发现效果越来来越好,这就是SVD的魅力,对于降低数据规模、提高运算效率、节省存储空间有着非常棒的效果。原本一张图片需要288 X 196的存储空间,经过SVD处理后,在保证图片质量的前提下,只需288 X 50 + 50 X 50 + 196 X 50的存储空间仅为原来的一半。
2.1 SVD理论基础
SVD算法通过发现重要维度的特征,帮助更好的理解数据,从而在数据处理过程中减少不必要的属性和特征,PCA(主成分分析)只是SVD的一个特例。PCA针对的正方矩阵(协方差矩阵),而SVD可用于任何矩阵的分解。
对于任意m x n矩阵A,都有这样一个等式
              Am x n  = Um x r Sr x r VTn x r
U的列称为左奇异向量,V的列称为右奇异向量,S是一个对角线矩阵,对角线上的值称为奇异值, r = min(n, m)。U的列对应AAT的特征向量,V的列则是ATA的特征向量,奇异值是AAT和ATA共有特征值的开方。由于A可能不是正方矩阵,因此无法利用得到特征值和特征向量,因此需要进行变换,即AAT(m x m)和ATA(n x n),这样就可以计算特征向量和特征值了。
              A = USVT    AT = VSUT
    AAT = USVT VSUT = US2UT
    AAT U = U S2
同样可以推导出:         ATA V = V S2
总结下来,SVD算法主要有六步:
A 、计算出AAT
B 、计算出AAT的特征向量和特征值
C、计算出ATA
D 、计算出ATA的特征向量和特征值
E、计算ATA和ATA共有特征值的开方
F、计算出U、 S、 V

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